Cechy podzielności liczb I (0-5)

Cechy podzielności liczb to metody pozwalające szybko rozpoznać, czy dana liczba jest podzielna przez inną bez reszty. Może to oszczędzić sporo czasu i obliczeń, jeśli nie interesuje nas wynik dzielenia, a tylko fakt, czy jest nim liczba całkowita. Oto zasady dzielenia przez konkretne liczby i ich szczegółowe wyjaśnienie:

Szukasz cech podzielności innych liczb? Prawdopodobnie ominąłeś artykuł:
Cechy podzielności liczb II (6-10) <= link

• Uwagi wstępne:

Uczniów podstawówek i gimnazjów raczej interesować będą tylko właściwe reguły i ewentualnie przykłady na konkretnych liczbach. Nie przejmujcie się, jeśli moje opisy tworzenia wzorów ogólnych z literkami są dla Was zbyt trudne - na to przychodzi czas w szkole średniej, kiedy już będziecie w stanie zrozumieć te zapisy.

Aby potrafić szybko ocenić, czy dana liczba dzieli się przez inną, wystarczy zastosować podane tutaj sztuczki. Aby jednak zrozumieć, jak te sztuczki działają, trzeba wykazać nieco więcej inicjatywy.

Dzielenie bez reszty to takie dzielenie, którego wynikiem jest liczba całkowita (dodatnia, ujemna, lub zero).

Przede wszystkim trzeba wiedzieć, że przykładowa liczba x dzieli się bez reszty przez dowolną liczbę całkowitą n, jeśli liczba x jest wielokrotnością liczby n. Wielokrotność przyjęło się oznaczać literą k (krotność), gdzie k jest dowolną liczbą naturalną. Możemy to zapisać w taki sposób:

I po pomnożeniu obu stron przez n:

Jak widać, liczba x dzieli się zarówno przez liczbę n, jak i przez liczbę k.

A co z zerem?

No właśnie. Nie istnieje formalne przypisanie zera do zbioru liczb naturalnych - jest to kwestia umowna. Natomiast zero należy do zbioru liczb całkowitych. Prawdą jest, że dla dowolnej liczby różnej od zera zachodzi równość:

Można zatem powiedzieć, że zero dzieli się przez każdą liczbę różną od zera (dzielenie przez zero omówimy przy innej okazji) bez reszty, bo wynikiem tej operacji jest liczba całkowita, wynosząca 0.

• Dzielenie przez 1:

Oj tak, zaczynamy z grubej rury, otóż definicja brzmi:
Każda liczba całkowita jest podzielna przez 1 bez reszty.

Mógłbym wystosować jakiś "mądry" wzór, w stylu:

I teraz go omówić.
Ale nie będę tego robił, bo nie chciałbym obrażać czytelników swojego bloga ;)

• Dzielenie przez 2:

Liczba jest podzielna przez 2, jeżeli jest parzysta, czyli wtedy, gdy jej ostatnią cyfrą są: 2, 4, 6, 8 lub 0.

Dlaczego?

Wynika to z definicji liczb parzystych - każda liczba parzysta jest podzielna przez 2.

Możemy napisać wzór który zawsze daje nam liczbę parzystą jako:

2*n, gdzie n to dowolna liczba naturalna, czyli całkowita dodatnia, lub ujemna

Zero jest tutaj szczególnym przypadkiem, gdyż nie jest ustalone, czy należy do zbioru liczb naturalnych. Jednak przyjęło się uważać zero za liczbę parzystą. Można to dodatkowo potwierdzić, dzieląc je przez dwa:

Wynikiem jest liczba całkowita (gdyż zero się zalicza do zbioru liczb całkowitych), bez reszty, zatem zero można przyjąć jako liczbę parzystą.

Kolejnym dowodem może być stwierdzenie, iż między dwoma liczbami całkowitymi nieparzystymi znajduje się dokładnie jedna liczba całkowita parzysta. Zobaczmy:

{...,−2,−1,0,1,2,...}

Widzimy, że na osi liczbowej pomiędzy dwiema sąsiadującymi liczbami nieparzystymi -1, oraz 1, znajduje się parzysta liczba - zero.

Jako dodatkową własność warto pamiętać, że wielokrotność liczby parzystej zawsze będzie parzysta. Zachowując powyższy zapis ogólny liczb parzystych jako 2*n, oraz mnożąc ją jako dowolną liczbę naturalną k możemy zapisać wielokrotność liczby parzystej jako:

2*n*k

Liczba ta jest zawsze parzysta, bo wciąż jest w niej dwójka, która się skróci, gdy podzielić ją przez B:

•  Dzielenie przez 3:

Liczba jest podzielna przez 3, jeżeli suma jej cyfr tworzy liczbę podzielną przez 3.

Dlaczego?

Aby zrozumieć dlaczego tak się dzieje, zapiszmy dowolną liczbę dziesiętną w formie iloczynu. Weźmy do tego celu liczbę trzycyfrową, w której a to liczba setek, b to liczba dziesiątek, a c to liczba jedności:

100*a+10*b+1*c = 100a+10b+c

W ten sposób zapisaliśmy dowolną liczbę trzycyfrową. Zobrazujmy to dla przykładu liczbą 762, czyli a=7, b=6, c=2:

100a+10b+c= 100*7+10*6+2 = 700+60+2 = 762

Jak wykorzystać nasz wzór do udowodnienia, że suma liczb podzielna przez 3 da nam całą liczbę podzielną przez 3? Wystarczy rozpisać sumę z naszego wzoru w następujący sposób:

100a+10b+c = 99a+a+9b+b+c = 99a+9b + a+b+c

Liczby 99 i 9 dzielą się przez 3, ale dopełnijmy formalności, wyciągając trójkę przed nawias:

3(33a+3b) + a+b+c

Rozbiliśmy zapis na dwa człony. Lewy, zielony, zawsze będzie się dzielił przez 3. Prawy, czerwony, to nic innego jak suma cyfr naszej liczby. Jeśli suma ta się dzieli na 3, to i cała liczba się dzieli na 3! Warto tutaj zauważyć, że liczba a, oznaczająca liczbę setek, może być dowolnie wielka, zatem dowód faktycznie wyczerpuje każdą możliwą liczbę.

• Dzielenie przez 4:

Dzielenie przez 4 można sprawdzić za pomocą trzech różnych metod:

1. Liczba jest podzielna przez 4, jeżeli jej dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 4.
2. Liczba jest podzielna przez 4, jeżeli można ją podzielić dwa razy przez 2.
3. Liczba jest podzielna przez 4, jeżeli suma cyfry jedności i podwojonej cyfry dziesiątek, jest podzielna przez 4.

Dlaczego?

Każda liczba podzielna przez 4 spełni wszystkie te warunki (są to tzw. warunki wystarczające - takie, że nie trzeba ich dodatkowo potwierdzać innymi metodami), zatem wystarczy sprawdzić tylko jeden z nich. Omówmy jednak wszystkie, aby zrozumieć, o co tutaj chodzi:

1. Liczba jest podzielna przez 4, jeżeli jej dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 4.
   
   Aby zrozumieć zasadę tej reguły trzeba tylko zauważyć, że 100 dzieli się przez 4 (liczba zero jest podzielna przez każdą liczbę naturalną!):
   100 : 4 = 25
   Mając teraz dowolną liczbę, np. 48965352, możemy ją zapisać w formie sumy:
   48965352 = 48965300 + 52 = 489653*100 + 52
   Lub bardziej ogólnie, przyjmując, że a to liczba setek, zaś b to liczba dziesiątek i jedności:
   

   a*100 + b

   Otrzymaliśmy liczbę zapisaną w dwóch częściach: Lewa, zielona, na pewno dzieli się przez 4, bo liczba 100 się przez nią dzieli. Prawa, czerwona, to dwie ostatnie cyfry całej liczby. Jeśli one się dzielą przez 4, to cała liczba będzie podzielna przez 4.
   

   
   
2. Liczba jest podzielna przez 4, jeżeli można ją podzielić dwa razy przez 2.
   
   To bardzo intuicyjny zapis, który łatwo można samemu rozwikłać. Jeśli dana liczba jest podzielna przez 4, to możemy ją zapisać w formie takiego iloczynu:
   n*4 = n*2*2, gdzie n należy do zbioru liczb naturalnych
   Teraz od razu widać, że można tą liczbę podzielić dwukrotnie przez 2, by otrzymać liczbę całkowitą.
   

   
   
3. Liczba jest podzielna przez 4, jeżeli suma cyfry jedności i podwojonej cyfry dziesiątek, jest podzielna przez 4.
   
   Podobnie jak w przypadku podpunktu pierwszego, mamy do czynienia z przypadkiem, w którym liczą się jedynie cyfry dziesiątek i jednostek. Nie musimy zatem rozważać, co się dzieje z resztą liczby. Przeanalizujmy zatem właściwość na przykładzie liczby dwucyfrowej zapisanej w znajomej formie sumy iloczynów:
   100*a+10*b+1*c = 100a+10b+c
   Liczba ta ma być podzielna przez 4, a zatem ma stanowić wielokrotność liczby 4. Określmy zatem taką wielokrotność liczbą n*4, czyli 4n:
   100a+10b+c = 4n
   Następnie wykonamy kilka prostych operacji, odejmując i dodając obie strony równania:
   100a+10b+c = 4n /-100a-10b
   c = 4n -100a - 10b /+2b
    c+2b = 4n -100a -12b
   Możemy wyciągnąć czwórkę przed nawias w prawej części:
    c+2b = 4(n -25a -3b)
   Dowód jest skończony - prawa część równania dzieli się przez 4, a zatem lewa też musi się dzielić. Ponieważ c była liczbą jedności, a b liczbą dziesiątek, otrzymaliśmy zapis potwierdzający, że liczba dzieli się przez 4, jeśli suma cyfry jedności (c) i podwojonej cyfry dziesiątek (2b) dzieli się przez 4.
   Warto tutaj zauważyć, że liczba a, oznaczająca liczbę setek, może być dowolnie wielka, zatem dowód faktycznie wyczerpuje każdą możliwą liczbę.
   
   

• Dzielenie przez 5:

Liczba jest podzielna przez 5, jeżeli jej ostatnią cyfrą jest 0 albo 5.

Dlaczego?

Po rozbudowanym udowadnianiu dzielenia przez 4 przychodzi proste dzielenie na 5. Ponownie skorzystamy z zapisu liczby w formie iloczynu, tym razem ograniczając się jednak jedynie do liczby jednostek i dziesiątek:

10*b+1*c = 10b+c= 5*2b + c

Od razu widać, że liczba dziesiątek (zielona), jaka by nie była, zawsze podzieli się przez 5. Jedyne co pozostaje to czerwona cyfra jedności c. Istnieją tylko dwie cyfry podzielne na 5. Jest to 5, oraz 0. A zatem cyfra jedności, czyli ostatnia cyfra liczby, musi wynosić 0 lub 5 - i na tym kończy się dowód.

Cechy podzielności przez inne liczby można zobaczyć w pozostałych artykułach:

Cechy podzielności liczb II (6-10) <= link