Pierwiastek z x kwadrat

Na dobry początek wyjaśnię faviconę tego bloga - pierwiastek z x kwadrat:

Nie przez przypadek wybrałem ten właśnie znak, gdyż jest to pułapka, w którą wpadają niemal wszyscy maturzyści, a i studentom się zdarza popełnić tutaj błąd prowadzący do szybkiego, często jednak błędnego wyniku. Rzecz jest jednak bardzo prosta - z czym tu mieć kłopot, jak można się pomylić i jakie skutki może to za sobą ciągnąć?

Otóż ogromna większość odpowie szybko, że jest to po prostu x, popełniając fatalny błąd:

BŁĄD

Poprawna odpowiedź bowiem brzmi - wartość bezwzględna z x:

WZÓR

Rozważmy to na przykładach:

Dla x = 3 wszystko zdaje się być w porządku:

Dla x = -3 okazuje się, że wartość bezwzględna była jednak konieczna:

Liczba ujemna podniesiona do kwadratu staje się liczbą dodatnią, w innym wypadku nie moglibyśmy nawet pierwiastkować liczby ujemnej. Zatem dla x równego -3 odpowiedź brzmi wartość bezwzględna z -3, co sprawia, że wynikiem naszego podchwytliwego wzoru wcale nie jest "gołe" x:

No dobrze, skoro już znamy sztuczkę, to rozważmy, w jakim przypadku można się na nią złapać i na co trzeba uważać. Powiedzmy, że mamy taki przykład:

PRZYKŁAD

Można zauważyć, że wartość pod pierwiastkiem to wzór skróconego mnożenia:

WZÓR

 A dokładniej, dla tego konkretnego przypadku jest to:

A zatem otrzymujemy:

Pamiętając o wartości bezwzględnej usuwamy pierwiastek:

Aby poprawnie rozwiązać równanie z wartością bezwzględną musimy rozważyć dwa przypadki, gdyż wartość x+1 może być ujemna, lub dodatnia. W tym przypadku możemy łatwo usunąć wartość bezwzględną, rozbijając równanie na dwa przypadki:

Lub:

Przykład a przekształcamy i otrzymujemy wynik:

 

 

 

WYNIK

Natomiast przekształcenie przypadku b nie ma rozwiązania:

SPRZECZNOŚĆ

Zatem jedynym rozwiązaniem przykładu jest:

WYNIK

Wyobraźmy sobie teraz, co by się stało, gdybyśmy zapomnieli o wartości bezwzględnej, używając błędnego wzoru?

Otrzymalibyśmy dokładnie to samo, co w przypadku b. W efekcie mielibyśmy jeden przypadek dający sprzeczność, a zatem brak rozwiązania, podczas gdy całe równanie posiada dokładnie jeden wynik. W ten sposób dostalibyśmy złą odpowiedź.

Mam nadzieję, że odtąd nikt z Was nie zapomni o tej prostej, a jednak zdradliwej własności. Na wszelki wypadek favikona matematykalny.blogspot.com będzie Wam o tym przypominać ;)