Sztuczka liczbowa 1

Prawdopodobnie nie istnieje lepsze zastosowanie matematyki niż to, aby za jej pomocą popisać się przed kolegami. Oczywiście, bycie lepszym z matematyki nie ma z tym nic do rzeczy. Za to sztuczkę matematyczną doceni nawet największy humanista. Zacznę od sztuczki którą bardzo łatwo zrealizować i nie trzeba do niej mieć kalkulatora. Krok po kroku:

1.  Znajdujemy sobie "ofiarę" i każemy jej wymyślić dowolną liczbę i nie ujawniać jej . Może ona być dowolnie długa. Załóżmy, że wymyślona liczba to 7214.
2.  Teraz każemy poprzestawiać cyfry w liczbie w dowolny sposób, tak, żeby powstała zupełnie nowa liczba. Powiedzmy, że powstanie 4271.
3. Kolejnym krokiem jest odjęcie mniejszej liczby od większej, 7214 - 4271 = 2943. Jeśli zajdzie taka potrzeba, niech cel naszej sztuczki użyje kalkulatora - jeśli się pomyli, sztuczka nie wypali.
4. Ostatni krok - każemy ofierze skreślić dowolną cyfrę, byle tylko nie zero - zer nie wolno jej skreślać! Powiedzmy, że skreśli 9, zatem zostanie 243.
5. Teraz ofiara może nam zdradzić wszystkie cyfry oprócz skreślonej. Może to zrobić w dowolnej kolejności, ale nie mówmy jej tego. Wręcz przeciwnie - wyraźnie zaznaczmy, aby koniecznie podała cyfry po kolei, aby tym trudniej było jej się domyślić, na czym naprawdę polega sztuczka ;)
   Możemy teraz powiedzieć, że odczytamy jej myśli i odgadniemy, jaką liczbę skreśliła.
6. Opcjonalnie - teraz możemy zmylić ofiarę, np. każąc jej zagrać z nami w papier-nożyce-kamień, albo bardziej finezyjnie - każmy jej powiedzieć dowolną liczbę i obliczyć jej kwadrat (najlepiej bez kalkulatora ;) ). Nie ma to żadnego związku z właściwą sztuczką, ale ofiara o tym nie wie i będzie szukała w tym wszystkim podstępu. Oczywiście zmyłka raczej nie zadziała na studenta matematyki, ale już uczeń podstawówki będzie się zastanawiał, w jaki sposób jego wymyślona liczba i obliczenia pomogły Ci zrealizować sztuczkę.
7. Zatem znamy już cyfry 243. Jak odgadnąć jaka została skreślona? Wystarczy je zsumować: 2+4+3 = 9. Skreślona została cyfra 9!
8. A co, jeśli skreślona zostałaby cyfra 2? Zostałoby nam 943, czyli 9+4+3 = 16. Sumujemy ponownie: 1+6 = 7. Nie wyszło? Bez obaw, sztuczka działa - po prostu 9 jest wyjątkiem. Jeśli z dodawania wyjdzie 9, to jest to od razu wynik, jeśli wyjdzie coś innego, to trzeba go odjąć od dziewiątki, czyli 9-7 = 2.
   Analogicznie dla 3. mamy 2+9+4 = 15 => 1+5=6 => 9-6= 3.
   Dla 4. wychodzi 2+9+3 = 14 => 1+4 = 5 => 9-5 = 4.

A teraz wyjaśnienie triku:

Pobawmy się teraz bardziej ekstremalnie, weźmy liczbę 164101698198.
Zamieszajmy ją: 981698101641.
Odejmijmy:  981698101641 - 164101698198 = 817596403443
Skreślmy dla testu cyfrę 9: 8+1+7+5+6+4+0+3+4+4+3 = 45 => 4+5 = 9 => mamy wynik!
a teraz cyfrę 1: 8+7+5+9+6+4+0+3+4+4+3 = 53 => 5+3 = 8 => 9-8 = 1 => znowu wyszło!

Skoro wiemy już jak działa sztuczka i podejrzewamy, że działa na każdej liczbie, to warto jeszcze zrozumieć, dlaczego tak się dzieje i przy okazji sprawdzić, czy rzeczywiście będzie tak się działo dla dowolnej liczby. Co sprawia, że sztuczka zawsze wychodzi?

Przede wszystkim wiemy, że aby sprawdzić czy dana liczba dzieli się przez 9, wystarczy zsumować wszystkie jej cyfry. Jeśli się dzieli, z sumowania wyjdzie nam w końcu 9. Na przykład 45 to 4+5 = 9, czyli 45 dzieli się przez 9. Z kolei 42 to 4+2 = 6. Czyli dzielenie 42 przez 9 zostawi nam 6 reszty.
47, czyli 4+7 = 11 => 1+1 = 2. wniosek - 47 dzielone przez 9 zostawi 2 reszty.

Poprzestawianie cyfr nie zmienia ich sumy - nadal będzie wychodzić tyle samo i liczba z pomieszanymi cyframi nadal będzie się dzielić przez 9 z taką samą resztą.Odjęcie dwóch liczb złożonych z tych samych cyfr, dowolnie poprzestawianych, ma jeszcze ciekawszą właściwość - wynik tej różnicy ZAWSZE będzie się dzielił przez 9. Nie wierzycie? Można to łatwo udowodnić:
Przyjmijmy, że a to ilość setek, b to ilość dziesiątek, c to ilość jednostek. Trzycyfrową liczbę dziesiętną można zapisać w taki sposób:

100a+10b+c, np. dla a=3, b=5, c=7 będzie to liczba 357

Poprzestawiajmy cyfry do takiej postaci:

100c+10a+b, wyjdzie 735

I wykonajmy odejmowanie:

100a + 10b + c - (100c + 10a + b) = 100a + 10b + c - 100c - 10a - b = 90a + 9b - 99c

Aby już zupełnie było widać, że wynik podzieli się przez 9, z wyniku można wyciągnąć dziewiątkę przed nawias:

90a + 9b - 99c = 9*(10a + b - 11c)

Zobaczmy wynik odejmowania dla naszych przykładowych liczb a=3, b=5, c=7:

9*(10*3 + 5 - 11*7) = 9* (30+5-77) = 9*(-42) = -378

Dzielenie liczb ujemnych jest analogiczne jak dla dodatnich, więc minusa możemy zignorować w tym dowodzie:

378 => 3+7+8 = 18 => 1+8 = 9

Wzór dla liczb trzycyfrowych, można rozpisać do dowolnych rozmiarów - wyniki odejmowania zawsze wyjdą podzielne przez 9.

Ok, zatem wiemy, że odejmowanie liczb złożonych z tych samych cyfr da nam wynik podzielny przez 9. Co dalej?
Wykorzystując tę właściwość zmusiliśmy ofiarę naszej sztuczki do stworzenia nam liczby, która na pewno dzieli się przez 9. Teraz każemy jej skreślić dowolną cyfrę oprócz zera. Jeśli skreśli cyfrę 9, to suma cyfr nadal pozostanie podzielna przez 9, więc z ich dodawania zostanie nam 9. Jeśli skreślona zostanie inna cyfra - zepsuje to dzielenie przez 9. Zostanie nam z tego dzielenia reszta. Różnica między dziewiątką i tą resztą jest cyfrą, jakiej poszukujemy. Dlatego wykonywaliśmy w sztuczce odejmowanie:

 9 - suma = skreślona cyfra

Pozostaje wyjaśnić ostatni element - dlaczego nie wolno skreślać zera?
Ponieważ skreślenie zera nie zmienia sumy cyfr. Nadal wyjdzie 9 i nie będziemy wiedzieć, czy zostało skreślone zero, czy dziewięć. Zobaczmy nasz ekstremalny przykład: 817596403443. Co by się stało, gdyby skreślić zero?

8+1+7+5+9+6+4+3+4+4+3 = 54 => 5+4 = 9

Wynik dodawania poprawnie mówi, że liczba jest podzielna przez 9. Ale w ten sposób nie wiemy, czy została skreślona dziewiątka, czy zero. Dlatego trzeba zabronić skreślania zer. Gdyby zabronić skreślania dziewiątek, moglibyśmy teraz dla każdej cyfry wykonać odejmowanie od 9, czyli 9-9 = 0 dało by nam skreśloną cyfrę. Ale wzbudzilibyśmy niepotrzebne podejrzenia i sztuczka nie wyglądałaby tak dobrze, zakaz skreślania zer to coś, co nie wzbudza kontrowersji.