Cechy podzielności liczb II (6-10)

Cechy podzielności liczb to metody pozwalające szybko rozpoznać, czy dana liczba jest podzielna przez inną bez reszty. Może to oszczędzić sporo czasu i obliczeń, jeśli nie interesuje nas wynik dzielenia, a tylko fakt, czy jest nim liczba całkowita. Oto zasady dzielenia przez konkretne liczby i ich szczegółowe wyjaśnienie:

Szukasz cech podzielności innych liczb? Prawdopodobnie ominąłeś artykuł:
Cechy podzielności liczb I (0-5) <= link

• Dzielenie przez 6:

Liczba jest podzielna przez 6, jeżeli jest podzielna przez 2 i przez 3.

Dlaczego?

Z opisu dzielenia przez 2 wynika, że wielokrotność liczby parzystej zawsze będzie parzysta, a cyfra 6 jest parzysta. Liczę podzielną przez 6, można zapisać wzorem:

 6*n = 2*3*n

W ten sposób widzimy, że liczba podzielna przez 6 jest jednocześnie podzielna przez 2, oraz przez 3. Wystarczy tylko sprawdzić warunki dla podzielności przez 2 i przez 3 - jeśli oba się spełnią, to liczba automatycznie dzieli się także przez 6.

• Dzielenie przez 7:

Dzielenie przez 7 jest prawdopodobnie najtrudniejsze do szybkiej oceny spośród wszystkich cyfr, choć sprawnie użyte nie powinno zająć wiele czasu. Wiele osób mylnie twierdzi, że metod dla siódemki nie ma - nawet nauczyciele mówią to swoim uczniom, wprowadzając ich w błąd! Tak się składa, że cech jest bardzo wiele (teoretycznie - nieskończenie wiele) i zaprezentuję tylko kilka najprostszych i najprzydatniejszych. Wybrałem dla Was dokładnie 7 zasad, do wyboru, do koloru, a po lekturze artykułu nie tylko będziecie w stanie w miarę łatwo udowodnić pozostałe, ale nawet samodzielnie tworzyć nowe! Nie trzeba do tego studiów matematycznych, wystarczy być uczniem szkoły średniej przed maturą, a jestem przekonany, że co bystrzejszy gimnazjalista też sobie z tym zadaniem może poradzić. Warto zaskoczyć nauczyciela! Zapraszam:

1. Liczba jest podzielna przez 7, jeżeli suma podwojonej liczby jej setek, oraz liczby jej dziesiątek i jedności, jest podzielna przez 7.
2. Liczba jest podzielna przez 7, jeżeli różnica między liczbą jej trzech ostatnich cyfr, a liczbą wszystkich pozostałych cyfr tej liczby (lub odwrotnie), jest podzielna przez 7.
3. Liczba jest podzielna przez 7, jeżeli suma jej cyfr mnożonych od prawej przez kolejne potęgi 3 (włącznie z potęgą zerową: 3⁰=1) jest podzielna przez 7.
4. Liczba jest podzielna przez 7, jeżeli suma każdej jej cyfry, patrząc od prawej, pomnożona przez kolejny element powtarzającego się ciągu (1, 3, 2, 6, 4, 5, ...) będzie podzielna przez 7.
5. Liczba jest podzielna przez 7, jeżeli jej ostatnia cyfra pomnożona przez 5 dodana do reszty liczby jest podzielna przez 7 (twierdzenie Żbikowskiego).
   Alternatywnie: ostatnią cyfrę mnożymy razy 2 i odejmujemy ją od reszty liczby, jeśli wynik różnicy dzieli się przez 7, to cała liczba również.
6. Liczba jest podzielna przez 7, jeżeli suma liczby jej setek oraz czterokrotności liczby jej dziesiątek i jedności, jest podzielna przez 7 - i inne twierdzenia wynikające z twierdzenia Żbikowskiego.
7. Liczba jest podzielna przez 7, jeżeli podzielimy ją na 6-cyfrowe grupy i dodamy je do siebie, a otrzymany w ten sposób wynik dodawania grup będzie podzielny przez 7.

Podobnie jak w przypadku dzielenia przez 4, tak i teraz mamy do czynienia z warunkami wystarczającymi - co oznacza, że wystarczy sprawdzić tylko jeden z nich, a pozostałe też będą pasować.

Dlaczego?

1. Liczba jest podzielna przez 7, jeżeli suma podwojonej liczby jej setek, oraz liczby jej dziesiątek i jedności, jest podzielna przez 7.
   
   
   Często ta metoda jest prezentowana w trudniejszej formie, którą omówię krótko na końcu.
   
   
   Ok, sama reguła nie jest taka trudna do zrozumienia, ale jak ją udowodnić? Tym razem zacznę od konkretnego przykładu spróbujmy zastosować metodę na liczbie 11529:
   11529
   Najpierw dzielimy liczbę na dwie części, czerwoną liczbę setek, oraz zieloną liczbę dziesiątek i jedności. Aby zastosować na niej metodę, należy pomnożyć liczbę setek razy 2 i dodać do wyniku liczbę dziesiątek i jedności:
   115*2 + 29 = 259
   Nadal trudno powiedzieć od razu, czy 259 dzieli się na 7. zastosujmy zatem metodę jeszcze raz, podobnie jak w przypadku dzielenia przez 3 mogliśmy sumować wielokrotnie:
   259 => 2*2 + 59 = 63
   Finalnie prędzej czy później otrzymamy liczbę dwucyfrową i będziemy mogli łatwo określić, czy dzieli się ona na 7. Liczba 63 dzieli się na 7, a zatem dzieli się także liczba 259, oraz 11529, co należało sprawdzić.
   
   
   Aby sprawdzić, dlaczego tak się dzieje, należy zauważyć, że liczba 49 dzieli się na 7, bo
   7*7 = 49
   Za pomocą liczby 49 możemy zapisać wartość jednej setki jako:
   100 = 1*100 = 98 - 2 = 2*49 - 2
   Dwie setki można rozpisać następująco:
   
   200 = 2*100 = 98-2 + 98-2 = 196 - 4 = 4*49 - 4
   Można teraz, zwracając uwagę na analogiczne czerwone elementy, zauważyć zależność dla liczby będącej dowolną liczbą setek (n*100):
   n*100 = 2*n*49 - 2*n
   Zatem robiliśmy liczbę setek na dwa człony: zielony, który zawsze podzieli się na 7, bo jest iloczynem 49, oraz czerwony, który musimy sprawdzić. Ponieważ liczba n to liczba setek, to 2*n jest podwojoną liczbą setek - jednym z elementów, jaki jest nam potrzebny do sprawdzenia podzielności przez 7.
   Nasza sprawdzana liczba to jednak nie tylko setki, ale też liczba dziesiątek i jedności. Gdybyśmy oznaczyli ją przez a, to można by zapisać całą liczbę do sprawdzenia w formie:
   

   n*100 + a
   Wiemy już, że n*100 = 2*n*49 - 2*n, możemy zatem podstawić to do wzoru całej liczby:
   
   n*100 + a = 2*n*49 - 2*n + a
   W ten sposób otrzymaliśmy zapis całej naszej liczby, w której część zielona dzieli się przez 7. Część czerwona natomiast to suma podwojonej liczby setek i liczby dziesiątek i jednostek - brzmi znajomo? To dokładnie to, co należy sprawdzić, by udowodnić, że cała liczba dzieli się na 7.
   
   
   W tym momencie mógłbym zakończyć dowód pierwszego podpunktu, ale nie byłbym sobą, gdybym zostawił bez wyjaśnień nieco inną wersję metody, o której wiem. Brzmi ona:
   
   
   Chcąc sprawdzić, czy liczba dzieli się przez 7 bez reszty, oddzielamy dwie ostatnie cyfry tej liczby i z tak powstałej liczby dwucyfrowej obliczamy resztę z dzielenia przez 7. Liczbę powstałą z pozostałych cyfr podwajamy i postępujemy z nią jak wyżej. Czynność powtarzamy tak długo, aż wyczerpiemy wszystkie cyfry liczby. Jeśli suma reszt jest podzielna przez 7, to także liczba wyjściowa jest podzielna przez 7.
   
   
   Widać tutaj podobieństwa do uproszczonej metody. Dwie ostatnie cyfry sprawdzanej liczby to nic innego, jak liczba dziesiątek i jedności (czyli nasze a z poprzedniego przykładu). Natomiast pozostałe cyfry to dokładnie liczba setek ze sprawdzanej liczby. Metoda każe nam je podwoić, a zatem ponownie otrzymamy podwojoną liczbę setek.
   Teraz jednak mamy podzielić obie te liczby przez 7 i zsumować reszty. O ile z liczbą dziesiątek i jedności nie będzie problemu, o tyle podwojona liczba setek może być duża i konieczne będzie ponowne jej rozbicie, dlatego ta metoda będzie sprawdzać się lepiej od uproszczonej dla małych liczb, lub dla przyspieszenia obliczania ostatniego kroku przy metodzie uproszczonej, kiedy od razu potrafimy podzielić obie potrzebne liczby przez 7 i łatwo dodać reszty.
   Ok, ale co się dzieje, dlaczego to działa? Przypomnijmy sobie zapis dowolnej liczby rozbitej na iloczyn 49:
   n*100 + a = 2*n*49 - 2*n + a
   Ponownie sprawdzamy tylko czerwoną część - mamy tutaj sumę dwóch liczb. Rozważmy przypadek ogólny, co się stanie, jeśli podzielimy sumę dwóch liczb (powiedzmy, że x i y) przez dowolną liczbę (n)? Otrzymamy takie coś:
   

   

   Wynikiem każdego dzielenia jest liczba całkowita k, oraz ułamek, który w liczniku ma resztę z dzielenia. Ponieważ nie interesuje nas cześć całkowita (to jest część liczby, która się podzieliła - dla nas to część "zielona"), a ułamki mają wspólny mianownik (nasz dzielnik - liczbę n), wystarczy przeanalizować sumę reszt. Jeśli ta będzie równa n, to cała liczba dzieli się na n - w tym przypadku mieliśmy n=7, ale prawidłowość ta zachodzi dla dowolnych liczb.
   

   
   
2. Liczba jest podzielna przez 7, jeżeli różnica między liczbą jej trzech ostatnich cyfr, a liczbą wszystkich pozostałych cyfr tej liczby (lub odwrotnie), jest podzielna przez 7.
   
   
   To bardzo dobry sposób na zmniejszenie liczby którą chcemy sprawdzić, zanim wykorzystamy inną metodę. Przeanalizujmy przykład liczby 549794:
   549794
   Tym razem oddzielamy trzy ostatnie cyfry i dokonujemy odejmowania:
   794 - 549 = 245
   Gdybyśmy odejmowali odwrotnie, wyszła by ta sama liczba, ale ujemna - nie ma to dla nas znaczenia, stąd odejmowanie możemy dokonywać w dowolną stronę, a znak minus możemy pomijać, gdyby wyszła liczba mniejsza niż zero.
   W ten sposób szybko zmniejszyliśmy naszą liczbę do liczby trzycyfrowej. Jednak nawet gdybyśmy chcieli, nie możemy kontynuować sprawdzania tą metodą. Dokończymy sprawdzanie metodą pierwszą:
   2*2 + 45 = 49
   Liczba 549794 dzieli się na 7, bo 49 dzieli się na 7.
   
   
   Jak się to dzieje? Można zauważyć, że rozdzielamy liczbę tysięcy od reszty:
   549794 = 549000 + 794 = 549*1000 + 796
   Reszta z dzielenia 1000 przez 7 to 6, zatem brakuje nam jedynki. Gdybyśmy jednak dodali i odjęli liczbę tysięcy do całego zapisu, nie zmienilibyśmy jego wartości:
   549*1000 + 796 = 549*1000 + 549 - 549 + 796 = 549*1001 - 549 + 796
   Wyciągnijmy -1 przed nawias:
   
   549*1001 - 549 + 796 = 549*1001 - (549 - 796)
   I oto mamy przejrzyście - zielona część jest zawsze podzielna przez 7, bo 1001 dzieli się na 7, zaś czerwona część w nawiasie to nic innego, jak liczba setek odjęta od liczby tysięcy (i jak wyżej wykazałem, można odwracać odejmowanie, by zachować ten sam wynik) - czyli liczba, którą trzeba sprawdzić, czy dzieli się na 7, aby sprawdzić podzielność całej liczby.
   
   
   Dokonajmy jeszcze zapisu ogólnego, dla liczby n, którą rozbijemy na liczbę tysięcy (t), oraz resztę liczby (r):
   n = t*1000 + r = t*1000 + t - t + r = t*1001 - t + r = t*1001 - (t - r)
   Dla t - liczby tysięcy, oraz r - pierwszych trzech cyfr liczby, okazuje się, że należy sprawdzić tylko różnicę między t i r, według treści metody.
   

   
   
3. Liczba jest podzielna przez 7, jeżeli suma jej cyfr mnożonych od prawej przez kolejne potęgi 3 (włącznie z potęgą zerową: 3⁰=1) jest podzielna przez 7.
   
   
   O rany, kto to wymyślił i jak bardzo mu się nudziło, że jakimś cudem tego doszedł... Prawda? ;)
   Jednak nie taka zasada straszna, na jaką wygląda. Zauważmy, że liczbę 10 możemy zapisać jako 7+3. Liczbę 100, możemy zapisać w związku z tym jako:
   100 = 10 * 10 = (7+3) * (7+3) = 7*7 + 7*3 + 3*7 + 3*3 = 91 + 9
   Zielona część zapisu zawsze podzieli się przez 7, zostaje nam tylko czerwona - 3*3 = 3² = 9. Reszta z dzielenia 9 przez 7 jest taka sama jak z dzielenia 100 przez 7 i wynosi 2. Zanim przejdziemy do wzoru ogólnego zobaczmy jeszcze, czy podobnie jest dla 1000:
   1000 = 10 * 10 * 10 = (7+3) * (7+3) * (7+3) = (91 + 9) * (7+3) =
   91*7 + 91*3 + 9*7 + 9*3 = 973 + 27 
   Ponownie zostaje nam część czerwona, która przyjmuje postać 9*3 = 3³ = 27. Reszta z dzielenia 1000 na 7 jest taka sama jak reszta z dzielenia 27 na 7 i wynosi 6. Prowadzi to do wniosku, że jeśli podniesiemy dziesiątkę do jakiejś potęgi, to reszta z dzielenia jej przez 7 będzie taka sama, jak reszta z dzielenia trójki podniesionej do takiej samej potęgi. Ale nie możemy się opierać na obserwacji kilku konkretnych liczb. Aby mieć pewność, że doszliśmy do słusznych wniosków trzeba przeprowadzić dowód ogólny dla dowolnej potęgi n, czyli dla 10ⁿ. A dowód ten jest prosty i skomplikowany zarazem, zobaczmy:
   10ⁿ = (7+3)ⁿ
   Mamy tutaj wzór (a+b)ⁿ, gdzie a=7 i b=3. Takie coś można zapisać w formie zwanej dwumianem Newtona - nie jest to jednak prosta matematyka i nie chcę w tym artykule poruszać tak złożonych zapisów - być może kiedyś opiszę to w osobnym wpisie. Jeśli jesteście ciekawi, możecie więcej poczytać o nim na wikipedii: http://pl.wikipedia.org/wiki/Dwumian_Newtona
   Jak w takim razie inaczej to zapisać? Rozbijmy potęgę w taki sposób:
   (7+3)ⁿ = (7+3)^n-2 * (7+3) * (7+3) = (7+3)^n-2 * (91 + 9)
   A teraz zróbmy to samo z użyciem zdefiniowanych wyżej a i b:
   
   (a+b)ⁿ = (a+b)^n-2 * (a+b) * (a+b) = (a+b)^n-2 * (a² + 2ab + b²)
   Skoro a=7, to część zaznaczona na zielono zawsze dzieli się na 7, zaś część czerwona to pozostająca potęga trójki. Mamy iloczyn dwóch nawiasów - jeden z nich jest podniesiony do potęgi n, więc teoretycznie jest nieskończenie wiele takich nawiasów, zaś drugi to nasz nawias do sprawdzania, który zawiera czerwoną część - potęgę cyfry 3 równą potędze liczby 10. Co się dzieje, gdy pomnożymy ten nawias przez kolejne (a+b)?
   (a+b) * (a² + 2ab + b²)
   Dzieje się rzecz następująca - najpierw mnożymy a (czyli 7) przez wszystkie elementy drugiego nawiasu - tutaj zawsze wyjdą liczby podzielne przez 7. Następnie mnożymy b przez wszystkie elementy drugiego nawiasu - tutaj jest tylko jeden element który nie dzieli się przez 7 i jest nim b (podniesione do potęgi). Pomnożenie przez zielone elementy sprawi, że nadal każdy z nowych iloczynów będzie podzielny przez 7, a mnożenie razy b powiększa potęgę b o jeden. Niezależnie od tego jak duże jest n - każde kolejne mnożenie nawiasów zawiera tylko jedno mnożenie którego wynik niekoniecznie jest podzielny przez 7. Jeśli pomnożymy n nawiasów, otrzymamy wiele elementów, ale tylko jeden z nich będzie "czerwony" - będzie to bⁿ.
   Dokładnie do tego samego wniosku, w podobny sposób, doszlibyśmy analizując dwumian Newtona.
   Działa to także dla jedynki, czyli 10⁰, bo:
   

   10⁰ = 3⁰ = 1

   Ale nie czas na świętowanie, bo to nie koniec. W ten sposób udowodniliśmy, że reszta z dzielenia 10ⁿ jest taka sama, jak reszta z dzielenia 3ⁿ. Teraz wiedząc, że jest to prawda, możemy przystąpić do udowodnienia całej metody. Przykładową liczbę czterocyfrową można opisać  jako:
   1000*a + 100*b + 10*c + d = 10³*a + 10²*b +10¹*c +10⁰*d
   Wiemy, że 10ⁿ to suma elementów, z których jeden na pewno jest podzielny przez 7 (oznaczymy go przez x), oraz 3ⁿ które niekoniecznie takie jest. Dla a=liczbie tysięcy, b=liczbie setek, c=liczbie dziesiątek i d=liczbie jednostek zapisujemy:
   (x₁+3³)*a + (x₂+3²)*b + (x₁+3¹)*c +(x₄+3⁰)*d = 
   x₁*a + 3³*a + x₂*a + 3²*b + x₃*a + 3¹*c + x₄*a + 3⁰*d
   Normalnie nie moglibyśmy tego zrobić, ale skoro teraz wiemy, że zielone liczby są na pewno podzielne przez 7, to możemy się ich pozbyć i zostaje nam tylko czerwona część do sprawdzenia:
   3³*a + 3²*b + 3¹*c + 3⁰*d
   Zapisać tak możemy dowolnie wielką liczbę, bo reguła sprawdza się dla 10ⁿ, czego dowiedliśmy wcześniej:
   3ⁿ*m₁ + 3^n-1*m₂ + ... + 3³*a + 3²*b + 3¹*c + 3⁰*d
   Co wyczerpuje dowód tej metody - niestety jest ona poręczna tylko dla małych liczb, co czyni ją w praktyce niemal bezużyteczną. W sumie mogłem o tym napisać na początku ;)
   

   
   
4. Liczba jest podzielna przez 7, jeżeli suma każdej jej cyfry, patrząc od prawej, pomnożona przez kolejny element powtarzającego się ciągu (1, 3, 2, 6, 4, 5, ...) będzie podzielna przez 7.
   
   
   Ta metoda ma wiele wspólnego z poprzednią, związaną z potęgami. Tutaj też będziemy potrzebować resztę z dzielenia 10ⁿ. Otóż możemy zauważyć prawidłowość, że kolejne potęgi dziesiątki dają nam określoną resztę z dzielenia przez 7:
   10⁰ = 1 ; reszta = 1
   10¹ = 10 ; reszta = 3
   10² = 100 ; reszta = 2
   10³ = 1000 ; reszta = 6
   10⁴ = 10 000 ; reszta = 4
   10⁵ = 100 000 ; reszta = 5
   

   Cykl ten następnie będzie się powtarzał w nieskończoność:
   

   10⁶ = 1000 000 ; reszta = 1
   10⁷ = 10 000 000 ; reszta = 3
   10⁸ = 100 000 000 ; reszta = 2
   10⁹ = 1000 000 000 ; reszta = 6
   10¹⁰ = 10 000 000 000 ; reszta = 4
   10¹¹ = 100 000 000 000 ; reszta = 5
   10¹² = 1000 000 000 000 ; reszta = 1
   Nie, nie będę wymieniał aż do nieskończoności, bo google nie ma tyle miejsca na serwerze ;)
   
   Mamy powtarzający się ciąg (1, 3, 2, 6, 4, 5, ...), który nazywa się ciągiem charakterystycznym dla podzielnika 7. Identyczny ciąg uzyskalibyśmy, gdybyśmy dzielili kolejne potęgi trójki - wynika to z analizy poprzedniej metody. Okazuje się, że wcale nie musimy mnożyć kolejnych cyfr przez kolejne potęgi trójki, bo możemy pomnożyć je przez kolejne wartości reszt, które znamy z tego ciągu.
   Rozważmy przykładową liczbę 4375, zapisaną jako suma:
   4*10³ + 3*10² + 7*10¹ + 5*10⁰
   Wiemy na przykład, że 10² da resztę 2, ale nie wiemy, ile reszty da 3*10². Możemy jednak pomnożyć cyfrę setek (3) razy resztę z pojedynczej setki (2), ponieważ:
   
   3*10² = 300 = 100 + 100 + 100
   Pamiętamy, że reszta z sumy jest sumą reszt każdego dodawanego elementu, więc jeśli mamy 3 setki, to mamy 3 razy resztę z jednej setki, czyli 3*2. Z 300 zostaje nam 6 reszty. W ten sposób wymnażamy wszystkie cyfry liczby początkowej (zapisane w postaci sumy) i dodajemy zgodnie z treścią metody:
   4*6 + 3*2 + 7*3 + 5*1 = 24 + 6 + 21 + 5 = 56
   56 dzieli się na 7, więc 4375 także się podzieli.
   
   
5. Liczba jest podzielna przez 7, jeżeli jej ostatnia cyfra pomnożona przez 5 dodana do reszty liczby jest podzielna przez 7.
   Alternatywnie: ostatnią cyfrę mnożymy razy 2 i odejmujemy ją od reszty liczby, jeśli wynik różnicy dzieli się przez 7, to cała liczba również.

   
   Podobna sytuacja jak poprzednio, weźmy tę samą liczbę do analizy:
   

   4375

   I wykonajmy metodę do otrzymania dwucyfrowego wyniku:
   

   5*5 + 437 = 462

   2*5 + 46 = 56

   Dość szybko otrzymaliśmy wynik 56 - podzielny na 7 - tutaj każdorazowe przeliczenie prawie zawsze pozwoli nam na pozbycie się jednej cyfry.
   Wypróbujmy jeszcze metodę alternatywną, która tym razem zawsze gwarantuje pozbycie się jednej cyfry:

   4375

   437 - 5*2 = 427

   42 - 7*2 = 28

   28 dzieli się na 7 - alternatywna metoda sprawdziła się.
   
   

   Cała metoda nazywa się twierdzeniem Żbikowskiego (zobacz bibliografię na końcu artykułu), o którym trudno cokolwiek znaleźć w sieci - nie jest to jednak niemożliwe. Dowiedzenie, że ta łatwa w stosowaniu metoda rzeczywiście działa dla każdego przypadku nie jest proste, ale da się to zrobić i to na poziomie szkoły średniej. Przystąpmy zatem do rozpisania wzoru na ogólny dla dowolnej liczby:

   Za liczbę dziesiątek podstawmy a, zaś za liczbę jedności - b i zapiszmy liczbę przy użyciu tych zmiennych:

   10*a + b

   Wzór z metody wygląda następująco:
   

   a + 5*b

   Wzór alternatywny zaś wygląda tak:
   

   a - 2*b

   Musimy przekształcić je tak, by móc wykazać, że reszty z dzielenia obu tych zapisów przez 7 są takie same. Odtąd na zielono zaznaczone będą części podzielne przez 7, a na czerwono - części wymagające porównania. Zacznijmy od drugiego wzoru:

   a + 5*b = a + 5*b + 2*b - 2*b =  7*b + a - 2*b

   Część podzielną przez 7 możemy zostawić w spokoju, zostaje nam a - 2*b do udowodnienia. Jest to nic innego jak wzór metody alternatywnej! W ten sposób wykazaliśmy, że metoda alternatywna jest niczym innym jak uproszczoną metodą początkową i są one tożsame, co oznacza, że dalej będziemy już udowadniać obie metody naraz.

   
   Nie da się ukryć, że bardzo swobodnie podchodzimy tutaj do skreślania elementów równania. Nie jest to jednak zachowanie prowadzące do błędu - jeśli wiemy, że dzielenie danego elementu będzie liczbą całkowitą, to nie musimy go dalej rozważać, jedyne co musimy ustalić, to co dzieje się z elementami, o których nie możemy tego powiedzieć na pewno. Pamiętając, że jeśli dany element dzieli się na 7, to pomnożenie go przez jakąkolwiek inną liczbę całkowitą da wynik, który też będzie się dzielił na 7 (wynikiem dzielenia będzie liczba przez którą mnożyliśmy).
   Możemy więc zauważyć, że jeśli a - 2*b podzieli się na 7, to
   

   10*(a - 2*b) = 10*a - 20*b

   także będzie się dzieliło.
   A wracając do pierwotnego wzoru 10*a + b możemy analogicznie stwierdzić, że:
   

   100*(10*a + b) = 1000a + 100b

   zachowa się dokładnie tak samo.
   Jeśli zatem nasza pierwotna liczba 10*a + b dzieli się na 7, co chcemy udowodnić, to dzieli się także 1000*a + 100*b. Czy to samo dzieje się z a - 2*b? Wiemy już z poprzednich analiz, że jeśli suma dwóch składników dzieli się przez 7, to znaczy, że suma ich reszt jest podzielna przez 7. Jeśli zatem jeden ze składników dodawania dzieli się przez 7, to drugi też musi się dzielić. Dokonajmy zatem dodawania przy założeniu, że pierwotna liczba dzieli się przez 7:
   

   10*a + b + a - 2*b

   Skoro liczba zapisana powyższym wzorem podzieli się przez 7, to podzieli się także ta:
   
   

   1000*a + 100*b + a - 2*b
   W tym momencie możemy zacząć liczyć:
   
   1000*a + 100*b + a - 2*b = 1001*a + 98*b = 7*(143*a + 14*b)
   Teraz, kiedy wprost widzimy, że suma ta na pewno dzieli się na 7, to wiemy na pewno, że jeśli 10*a + b podzieli się na 7, to podzieli się także a - 2*b. A to oznacza, że jeśli a - 2*b podzieli się na 7, to podzieli się dowolna liczba zapisana jako 10*a + b.
   Wcześniejsze wnioski pozwalają powiedzieć w tym momencie, że jeśli powyższy wniosek jest prawdziwy dla a - 2*b, to będzie prawdziwy także dla a + 5*b, co potwierdza metodę pierwotną, jak i alternatywną.
   

   
   
6. Liczba jest podzielna przez 7, jeżeli suma liczby jej setek oraz czterokrotności liczby jej dziesiątek i jedności, jest podzielna przez 7 - i inne twierdzenia wynikające z twierdzenia Żbikowskiego.
   
   Zobaczmy na tym samym przykładzie co wyżej:
   
   4375
   Pomnożymy czerwoną liczbę dziesiątek i jedności razy 4 i dodamy do zielonej liczby setek:
   75*4 + 43 = 343
   343 - niekoniecznie widać od razu, więc zróbmy to jeszcze raz:
   
   43*4 + 3 = 175
   Liczba wprawdzie się zmniejsza, ale wciąż nie uzyskaliśmy wyniku dwucyfrowego. Ta metoda jest lepsza dla większych liczb, gdyż wtedy każde powtórzenie skraca nam liczbę o dwie cyfry. Ale nie zrażamy się i kontynuujemy:
   75*4 + 1 = 301
   Kolejna próba już zdecydowanie daje nam odpowiedź:
   
   1*4 + 3 = 7
   7 dzieli się na 7 - otrzymaliśmy wynik, niestety, mieliśmy pecha i o ile nie ocenilibyśmy inaczej podzielności liczby trzycyfrowej, to może się tak właśnie zdarzyć. Niemniej jednak - metoda działa. Ale jak?
   
   Tym razem pozwolę sobie na odrobinę lenistwa, bo opis siódemki się przeciąga i nagle odkrywamy, że metod można wyznaczyć bez liku. Dowodzenie tej metody odbywa się analogicznie jak metody opisanej w punkcie piątym. W linku do bibliografii na końcu tego artykułu znajduje się fragment książki w którym wypisano 22 analogiczne metody oparte na twierdzeniu Żbikowskiego (w tym metody dla liczb 11, 13, 17, 19 itp.) - a wyznaczyć można ich nieskończenie wiele. Dowodzenie ich wszystkich jest bardzo zbliżone ideą, a niektóre z nich są opisane właśnie tam zarówno metodą prostą, jak i bardziej złożoną, zatem nie będę przepisywał ze źródła. Jeśli poziom wiedzy matematycznej pozwolił komuś zrozumieć proces dowodzenia zawarty w punkcie piątym, to zachęcam do samodzielnych prób udowodnienia poniższych twierdzeń:

   

   O cechach podzielności liczb i odkrywaniu twierdzeń

   Powiem nawet więcej - jeśli uda Wam się udowodnić choć jedno, oznacza to, że prawdopodobnie jesteście w stanie stworzyć nowe, których nie ma na tej liście. Powodzenia!
   
   
7. Liczba jest podzielna przez 7, jeżeli podzielimy ją na 6-cyfrowe grupy i dodamy je do siebie, a otrzymany w ten sposób wynik dodawania grup będzie podzielny przez 7.
   
   Znakomity sposób na bardzo duże liczby. Sposób działa, nawet jeśli ilość cyfr liczby nie dzieli się na 6 (z lewej strony możemy dopisać zera). Zobaczmy metodę na takiej właśnie liczbie (61 455569 720099 279990 099011 724295):
   
   000061 + 455569 + 720099 + 279990 + 099011 + 724295 = 2 279025
   Kontynuujmy stosowanie tej metody:
   
   2 + 279025 = 279027
   Prędzej czy później, niezależnie od tego jak wielka jest liczba, skończymy na wyniku składającym się z sześciu cyfr, który sprawdzamy dalej inną metodą, na przykład metodą drugą:
   
   279 - 27 = 252
   252 dzieli się na 7, można tutaj użyć metody szóstej, by uzyskać:
   
   25 - 2*2 = 21
   W ten sposób bardzo szybko sprawdziliśmy podzielność olbrzymiej liczby - ponad 61 kwintylionów :)
   
   
   Dowód tej metody jest prosty, bo możemy tutaj wrócić do metody numer cztery, która mówiła, że reszty z kolejnych potęg dziesiątki powtarzają się po sześciu cyklach. Dlatego właśnie dzielimy liczbę na grupy po 6 cyfr, bo reszty zaczną się powtarzać.
   Dlaczego możemy bezczelnie dodać do siebie te cyfry? Bo dodajemy odpowiadające sobie rzędy wielkości, np. reszta z x milionów jest taka sama, jak reszta z x jedności, więc cyfrę milionów możemy potraktować tak, jak gdyby była to osobna cyfra jedności. Dodajemy ją więc do cyfry jedności i otrzymujemy wynik, który będzie miał taką samą resztę z dzielenia przez 7, jak gdybyśmy dodali x milionów do x jedności bez przestawiania przecinka o sześć miejsc. To samo dzieje się co sześć pozycji na dowolnie wielkiej liczbie.

• Dzielenie przez 8:

1. Liczba jest podzielna przez 8, jeżeli dzieli się trzykrotnie na 2.
2. Liczba jest podzielna przez 8, jeżeli jej trzy ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 8.
3. Liczba jest podzielna przez 8, jeżeli suma cyfry jedności, podwojonej cyfry dziesiątek, oraz poczwórnej cyfry setek, jest podzielna przez 8.

Tradycyjnie już są to warunki wystarczające - wystarczy sprawdzić tylko jeden z nich, bo pozostałe dadzą taki sam wynik.

Dlaczego?

1. Liczba jest podzielna przez 8, jeżeli dzieli się trzykrotnie na 2.Po poprzednich dowodach myślę, że nie wymaga to większych wyjaśnień, dość napisać, że:
   
   8 = 2*2*2
   Można też liczbę podzielić na 2 i sprawdzić, czy wynik podzieli się na 4, bo:
   
   8 = 2*4
   

   
   
2.  Liczba jest podzielna przez 8, jeżeli jej trzy ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 8.
   
   
   Mamy tutaj podobny przypadek jak z podzielnością przez 4. Tym razem jednak zauważamy, że:
   1000 : 8 = 125
   Przyjmując za a liczbe tysięcy, oraz za b trzy ostatnie cyfry danej liczby otrzymujemy:
   
   1000*a + b
   Składnikiem, który nie dzieli się na 8 w tej sumie jest b, czyli liczba złożona z trzech ostatnich cyfr liczby. Jeśli ona podzieli się na 8, to cała liczba też się podzieli.
   

   
   
3. Liczba jest podzielna przez 8, jeżeli suma cyfry jedności, podwojonej cyfry dziesiątek, oraz poczwórnej cyfry setek, jest podzielna przez 8.
   
   
   Ponownie postępujemy analogicznie jak w przypadku podzielności przez 4 - rozpisujemy liczbę na sumę iloczynów i przyrównujemy do wielokrotności ósemki:
   1000*d + 100*a + 10*b + c = 8*n
   Liczba tysięcy (d) zawsze się podzieli na 8, więc możemy ją dla uproszczenia zignorować, po czym zaczynamy otrzymany wzór przekształcać:
   100a + 10b + c = 8n /-100a -10b
   c = 8n - 100a - 10b /+4a +2b
   4a + 2b + c = 8n - 96a - 8b
   4a + 2b + c = 8(n -12a - b)
   

   Ponieważ a to cyfra setek, b to cyfra dziesiątek, a c to cyfra jedności, oraz prawa część równania dzieli się na 8 - dowód możemy uznać za skończony.

• Dzielenie przez 9:

Liczba jest podzielna przez 9, jeżeli suma jej cyfr dzieli się przez 9.

Przypomnijmy sobie dowód na podzielność przez trójkę, który był analogiczny. Możecie go znaleźc w poprzedniej części artykułu: http://matematykalny.blogspot.com/2013/04/cechy-podzielnosci-liczb-i-0-5.html
W czasie jego udowadniania wyprowadziliśmy ogólny zapis dowolnej liczby, w skróconej formie wyglądający następująco:

3(33a+3b) + a+b+c

Wykonując wymnożenie nawiasu i wyciągając tym razem dziewiątkę otrzymujemy:

3(33a+3b) + a+b+c = 9(11a + b) + a + b + c

I... to tyle, dowód skończony!

• Dzielenie przez 10:

Liczba jest podzielna przez 10, jeżeli jej ostatnią cyfrą jest 0.

Dzielenie przez dziesięć w systemie dziesiętnym to nic innego, jak przesuwanie przecinka o jedną pozycję w lewo. Jeśli na miejscu jedności jest zero, to nie pozostanie nam nic po przecinku - czyli wynikiem będzie liczba całkowita.

Albo inaczej, zapiszmy dwolną liczbę jako:

10*a + b

Gdzie a to liczba dziesiątek, zaś b to cyfra jedności. Zielona część się podzieli przez 10 zawsze, a czerwona, czyli cyfra jedności... musi być równa zero, aby też można było o niej to powiedzieć :)

Cechy podzielności przez inne liczby można znaleźć w pozostałych artykułach:
Cechy podzielności liczb I (0-5) <= link


Bibliografia:
Fragment książki Jana Górowskiego i Adama Łomnickiego:
O cechach podzielności liczb i odkrywaniu twierdzeń